1.24 Mb.Название страница9/13Дата конвертации10.08.2012Размер1.24 Mb.Тип 9 1. 2. 3. 4. К у р с высше й математик и краткий курс лекций Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом: Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci. Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci. Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y (0)=0. Решение уравнения будем искать в виде Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: Отсюда получаем: Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: Окончательно получим: Итого: Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена. Если заданные начальные условия y(0)=1, y (0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х. После подстановки полученных значений получаем: Ряды Фурье. ( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 1830) французский математик) Тригонометрический ряд.Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: или, короче, Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2 , т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2 . Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [- ; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда.Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [- ; ], то существует интеграл Такой результат получается в результате того, что . Получаем: Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до . Отсюда получаем: Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до . Получаем: Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.Таким образом, если функция f(x) любая периодическая функция периода 2 , непрерывная на отрезке [- ; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке [- ; ] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [- ; ] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называ
Решение дифференциальных уравнений с помощью - К у р с высше й математик и краткий курс лекций
Комментариев нет:
Отправить комментарий