дискриминант может ли быть отрицательным?

362,91 Kb.НазваниеЭлективный курс по математике для 10 класса на 2010 2011 учебный годстраница2/4Гурьева Р ТДата конвертации22.09.2012Размер362,91 Kb.Тип   2     Раздел I. Комплексные числа, 12 ч.Занятия 1-2. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Арифметические действия. Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа i. Равные комплексные числа. Действия над комплексными числами. Введем новое число i - мнимую единицу, - обладающее тем свойством, что квадрат его равен -1. i2=-1 Числа вида a+bi , где а и в действительные числа, i - мнимая единица, называются комплексными.Число a называется действительной частью комплексного числа, bi мнимой частью комплексного числа. Комплексные числа удовлетворяют некоторым условиям, которые будут рассмотрены ниже. Два комплексных числа z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называются равными, если равны их действительные части а1=а2 и мнимые части в1=в2 соответственно. Действительные числа идентичны классу комплексных чисел вида z=x+0i , т.е. множество комплексных чисел содержит в себе как часть (подмножество) все действительные числа, а также все мнимые числа; другими словами, действительные числа, а также мнимые числа представляют частные случаи комплексных чисел. Например, 5=5+0i (а=5, в=0) -3 i = 0+(-3) i i =0+1 i 0=0+0 iПримечание 1. С помощью мнимой единицы i может быть выражен квадратный корень из отрицательного числа. Например, Примечание 2. Введение комплексных чисел делает возможным решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом; например, уравнение имеет два комплексных корня: . Сложение комплексных чисел Суммой двух комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z= a+ bi , действительная и мнимая части которого равны соответственно сумме действительных и мнимых частей слагаемых чисел z1 и z2 , т.е. z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i Примеры. (2+3i)+ (3-i)=(2+3)+(3-1) i=5+2i (4-5i)+(2+5i)=6 (2т+пi)+(т-2пi)=3т-пi Из приведённых примеров видно, что сложение комплексных чисел проводится по обычным правилам сложения многочленов. Из геометрического истолкования комплексных чисел как векторов следует, что сложение комплексных чисел проводится по правилам сложения векторов. На рис.4 изображено сложение комплексных чисел z1=3+2 i и z2=2+4i Вычитание комплексных чисел Под вычитанием из комплексного числа z1=a1+ b1 i другого комплексного числа z2=a2+b2 i подразумевается отыскание такого числа z= a+ bi , которое, будучи сложено с вычитаемым z2 , даёт уменьшаемое z1.При вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их действительные и мнимые части. Пример. (3-2 i)-(1+3 i)=(3-1)+(-2-3) i=2-5 i (-3+8 i)-(5+4 i)=-8+4 iВ геометрическом истолковании вычитание комплексных чисел означает вычитание соответствующих им векторов. Умножение комплексных чисел Два комплексных числа z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i перемножаются по обычному правилу умножения многочленов; в полученном результате i2 заменяется на -1 и отделяется действительная часть от мнимой. (a1+ b1 i)(a2+b2 i)=a1 a2+a1b2 i+a2 b1i+b1 b2i2=(a1a2-b1b2)+ (a2b1+a1b2)iПример. (2-3 i)(3+5 i)=6-9 i+10 i-15 i2=6+ i-15(-1)=21+ i (4+ i)2 i=8 i+2 i2=-2+8 i Произведение двух сопряженных комплексных чисел есть число действительное, равное квадрату их общего модуля. (a+ bi)( a- bi)=a2+b2=r2 Деление комплексных чисел Частным от деления двух комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется такое комплексное число х+уi , которое, будучи умножено на делитель, дает в произведении делимое.Проще этот результат можно получить умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю, т.е. Решить примеры типа: Вычислите 1.(1P+P2i)(3P P4i).2. Занятие 3. Геометрическое изображение комплексных чисел. Геометрический смысл модуля, операций сложения, вычитания и умножения на действительное число. Аргумент комплексного числа v = arg z. Модуль комплексного числа Принято комплексное число z= a+ bi изображать точкой с координатой (а; в) на плоскости или соответствующим радиус-вектором; абсцисса этой точки равна действительной части а, ордината равна в, т.е. коэффициенту при мнимой единице. Всякому комплексному числу соответствует определенная точка на плоскости, и наоборот, всякой точке на плоскости соответствует определенное комплексное число (рис.1). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости хОу и множеством комплексных чисел. Два комплексных числа z= a+ bi и z= a- bi называются сопряженными, если они отличаются только знаком перед мнимой частью. Пара сопряженных комплексных чисел изображается точками, симметричными относительно оси абсцисс, числа 3+2i и 3-2i Модулем комплексного числа z= a+ bi называется действительное число В геометрическом истолковании модуль это длина радиус вектора. Причем, действительная часть a есть проекция на ОХ, коэффициент в есть проекция на ОУ. Оба способа геометрического представления комплексных чисел равноценны, так как всякой точке на плоскости соответствует определённый радиус вектор, и наоборот, всякому вектору, начало которого совпадает с началом координат, соответствует определённая точка конец вектора. Число r положительно и обращается в нуль лишь в том случае, когда а=0, в=0. Модуль действительного числа есть абсолютная величина этого числа. Поэтому модуль комплексного числа называют еще и абсолютной величиной этого числа. Примечание 3. Все комплексные числа, имеющие модуль, равный единице, изображаются точками единичного круга с центром в начале координат. Например, числа , изображаются точками М1 , М2 , М3. (рис.3).Примеры типа: 1.Найти модуль комплексного числа zP=P 1P Pi. 2.Найти аргумент числа zP=P1P Pi.Занятия 4-5. Тригонометрическая формы записи комплексного числа zP=PaP+PbiP=Pr(cosPvP+PiPsin v). Примеры Комплексное число a+ bi , не равное нулю на плоскости изображается радиус вектором причем длина этого вектора есть модуль комплексного числа ( см. рис.5) : Угол между положительным направлением оси ОХ и вектором , называется аргументом комплек

Раздел I - Элективный курс по математике для 10 класса на 2010 2011 учебный год